O YouTube não tem um recurso de webcam para gravar vídeos. Use o software do seu computador para gravar e salvar vídeos. Em seguida, envie o vídeo para o YouTube.
Softwares famosos incluem Photo Booth para Mac OS X e Câmera para Windows 8+ (links em inglês). Se você usa outro sistema operacional, pesquise como gravar vídeos usando a webcam. Geralmente, é possível encontrar informações no manual do dispositivo ou na Internet.
Caso você tenha um dispositivo móvel, grave vídeos com a câmera do seu smartphone e envie esse conteúdo ao site usando o app YouTube.